By Katz N.M.

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5) mit der aufgrund der Kettenregel folgenden Orthogonalitätseigenschaft (vgl. 8)): τ β ⋅ τ α = δ αβ . 8/9) in der Lage, ko- und kontravariante Oberflächenmetriken zu definieren: gαβ = ∂xi ∂xi ∂z α ∂z β ≡ τ α ⋅ τ β , g αβ = ∂z α ∂z β ≡ τα ⋅ τ β . 7) 44 2. Koordinatentransformationen Um ein Maß für die lokale Krümmung der Oberfläche zu finden, definiert man zunächst den sog. 4)): bαβ = ∂ 2 xi ni . 8) Diese Definition verdient einen Kommentar. Aus der Extremalanalyse einer Kurve y = y (x ) in der Ebene ist bekannt, dass die zweite Ableitung d 2 y d 2 x die lokale Krümmung im Punkt x beschreibt.

14) zu: dr = 0 ⇒ ds = R 2 dϑ 2 + dz 2 . 20) Nun halten wir noch fest, dass sich die Höhe z linear proportional zum Winkel ϑ verhält: z = Aϑ + B . 22) und damit ergeben sich die Konstanten A und B zu: A= H und B = 0 . 18) identisches Ergebnis. 2, dass für das Linienelement ds in Kugelkoordinaten gilt: ds = dr 2 + r 2 sin 2 (ϑ ) dϕ 2 + r 2 dϑ 2 . 25) Man beweise nun mit diesem Ergebnis, dass für den Äquatorumfang sowie den Großkreis einer Kugel mit Radius R gilt: U = 2π R . 26) 22 2. 4: Dekoration Ein Produzent der Huttracht einer Ordensgemeinschaft steht vor dem Problem, ein Zierband ausreichender Länge L auf einer viertelkreisförmigen Filzunterlage befestigen zu müssen, die anschließend zu einem Kegelhut zusammengerollt wird, so wie in Abb.

4 Ko- und kontravariante Komponenten 31 so lässt sich zusammenfassend schreiben: Ai = g ij (Az ) j , (Az ) i = g ij (Az ) j . 8) (z) In ersten Fall spricht man auch vom Überschieben des Ausdruckes mit der Metrik g ij zum Hochziehen eines Index. 7) tatsächlich die Inverse der Metrik g lk darstellt. 8) in kontravariante Komponenten überführen lassen. 1) rechnen wie mit Brüchen, d. h. es gilt: Ak= ( x) ∂xk i ∂z i A , A = Ai. 9) Dieses ist alles eine Konsequenz der Kettenregel. 9)1. 9)2 nach. 9), dass die Metrik dazu dient, Streckenabstände zu berechnen.

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